\section{Eisenstein 整数及应用}
本章先介绍 Eisenstein 整数， 类似于 Gauss 整数（§5.4 §5.6). 然后， 从下节转人一般二次数和代数数的介绍。

考虑 $x^{3}=1$ 的根 $\omega$ (三次本原单位根), 即
\[
\omega=\mathrm{e}^{2 \pi i / 3}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}
\]
于是 $\omega^{2}=\bar{\omega}=(-1-\sqrt{-3}) / 2(\bar{\omega}$ 恰是 $\omega$ 的复共轭 $), \omega^{2}+\omega=-1, \omega^{2} \cdot \omega=1$. 如下复数
\[
\alpha=m+n \omega=\frac{(2 m-n)+n \sqrt{-3}}{2} \quad(m, n \in \mathbb{Z})
\]
称为爱森斯坦整数 (Eisenstein integer), 因为最早是 G. Eisenstein (1844) 用这种数研究三次互反律问题。 Eisenstein 整数集合
\[
\mathbb{Z}[\omega]=\{m+n \omega \mid m, n \in \mathbb{Z}\}
\]
是一个环。 $\mathbb{Z}[\omega]$ 和 Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 有类似的性质： 有带余除法， 辗转相除， 是唯一析因整环。 证明方法也类似。 若 $a, b \in \mathbb{Q}$ 为有理数， 则 $a+b \omega$ 称为 Eisenstein 数， 其全体记为 $\mathbb{Q}(\omega)$, 是域。

与 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 类似， 在 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中引人整除等术语：若 $\alpha=\beta \gamma(\alpha, \beta, \gamma \in$ $\mathbb{Z}[\omega])$, 则称 $\beta$ 整除 $\alpha$, 记为 $\beta \mid \alpha$, 称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的因子， 称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的倍。 若
\[
u u^{\prime}=1 \quad\left(u, u^{\prime} \in \mathbb{Z}[\omega]\right)
\]
则称 $u$ 为 $\mathbb{Z}[\omega]$ 的可逆元或单位 (unit). 若 $\alpha=\beta u, u$ 为单位， 则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 互为结合元 (associate). 如果 $\alpha$ 没有真因子， 即 $\alpha=\beta \gamma$ 只有 $\beta$ 或 $\gamma$ 为单位时才成立，则称 $\alpha$ 为 Eisenstein 素数。

Eisenstein 数 $\beta=a+b \omega$ 的 (复) 共轭定义为 $\bar{\beta}=a+b \bar{\omega}, \beta$ 的范数定义为
\[
\begin{aligned}
N(\beta) & =\beta \bar{\beta}=(a+b \omega)(a+b \bar{\omega})=(a-b / 2+b \sqrt{-3} / 2)(a-b / 2-b \sqrt{-3} / 2) \\
& =\frac{1}{4}\left[(2 a-b)^{2}+3 b^{2}\right]=a^{2}-a b+b^{2} \geqslant 0 .
\end{aligned}
\]
显然 $N(\beta)=\beta \bar{\beta}=|\beta|^{2}$ (即复数 $\beta$ 的长度(绝对值)的平方). 故知 $N$ 是完全积性的，即 $N(\alpha \beta)=N(\alpha) N(\beta)$. 注意，Eisenstein 整数 $\beta \in \mathbb{Z}[\omega]$ 的范数是正整数，除非 $\beta=0$.

\begin{lemma}%引理1
(1) $u=m+n \omega \in \mathbb{Z}[\omega]$ 是单位(即可逆元) 当且仅当范数 $N(u)=1$.

(2) $\mathbb{Z}[\omega]$ 中单位集为 $\mathbb{Z}[\omega]^{*}=\left\{1, \omega, \omega^{2},-1,-\omega,-\omega^{2}\right\}$, 是乘法群。
\end{lemma}

\begin{proof}
 (1) $u=m+n \omega$ 在 $\mathbb{C}$ 中的逆为 $1 / u=\bar{u} / u \bar{u}=\bar{u} / N(u)$, 它属于 $\mathbb{Z}[\omega]$ 当且仅当 $N(u)=1$.

(2) $N(u)=\left(m-\frac{1}{2} n\right)^{2}+\frac{3}{4} n^{2}=1$, 即 $(2 m-n)^{2}+3 n^{2}=4$, 即得引理。
\end{proof}

\begin{example}%例1
如果 $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ 的范数 $N(\alpha)$ 是有理素数， 则 $\alpha$ 必是 Eisenstein 素数;这是因为 $\alpha=\beta \gamma$ 导致 $N(\alpha)=N(\beta) N(\gamma)$, 故若 $N(\alpha)$ 为有理素数， 则 $N(\beta)$ 或 $N(\gamma)$ 必有一为 1 , 即 $\beta$ 或 $\gamma$ 必有一为单位。 例如， $\pi=1-\omega=\frac{3-\sqrt{-3}}{2}$, $N(\pi)=3$, 故 $\alpha$ 是 Eisenstein 素数， 是 3 的素因子。
\end{example}

\begin{theorem}%定理1
(Eisenstein 整数成 Euclid 环) 对任意 $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\omega], \beta \neq 0$, 存在 $q, r \in \mathbb{Z}[\omega]$ 使
\[
\alpha=\beta q+r, \quad N(r)<N(\beta)
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
 记 $\alpha / \beta=\alpha \bar{\beta} / \beta \bar{\beta}=a+b \omega(a, b$ 为有理数 $)$. 取整数 $m, n \in \mathbb{Z}$ 使得
\[
|a-m| \leqslant \frac{1}{2}, \quad|b-n| \leqslant \frac{1}{2}
\]
令 $q=m+n \omega$, 则
\[
\begin{aligned}
N(\alpha / \beta-q) & =N(a-m+(b-n) \omega)=(a-m)^{2}-(a-m)(b-n)+(b-n)^{2} \\
& \leqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}<1
\end{aligned}
\]
再令 $r=\alpha-q \beta$, 则 $N(r)=N(\alpha-q \beta)=N(\beta) N(\alpha / \beta-q)<N(\beta)$.
\end{proof}


{定理 1} 说明， $\mathbb{Z}[\omega]$ 内可进行带余除法。 这可简述为： $\mathbb{Z}[\omega]$ 是 Euclid 整环 (Euclidean domain). 同样的， § 5.4 定理 1 可简述为： $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 是 Euclid 整环。因此， 与 $\S 5.4$ 对 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 的讨论一样， 由 $\mathbb{Z}[\omega]$ 的带余除法可得其辗转相除法，可得其任两元素 $\alpha, \beta$ 的最大公因子 $d$ 存在， 且可表为 $d=s \alpha+t \beta$ (Bézout 等式). 由此可得到

\begin{theorem}%定理2
(Eisenstein 整数唯一析因定理) 任一Eisenstein 整数 $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ (非零， 非单位) 可写为有限个 Eisenstein 素数之积， 且写法是唯一的(不计单位的倍和乘积次序).也就是说， $\alpha$ 可写为
\[
\alpha=\pi_{1} \pi_{2} \cdots \pi_{t}
\]
其中 $\pi_{1}, \pi_{2}, \cdots, \pi_{t}$ 为 Eisenstein 素数。
\end{theorem}

{定理 2} 可简述为： $\mathbb{Z}[\omega]$ 是唯一析因整环。

\begin{example}%例2
自然数 2 是 Eisenstein 素数。 事实上， 若 $2=\beta \gamma=(m+n \omega)(s+t \omega)$, 取范数得
\[
4=N(\beta) N(\gamma)
\]
故 $N(\beta)=1$ 或 $N(\gamma)=1$ (即 $\beta$ 或 $\gamma$ 为单位， 从而 2 为 Eisenstein 素数); 或者 $N(\beta)=2$, 即
\[
2=\frac{1}{4}\left[(2 m-n)^{2}+3 n^{2}\right], \quad 8=(2 m-n)^{2}+3 n^{2}
\]
此为不可能。
\end{example}

\begin{example}%例3
自然数 3 在 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中的素因子分解为
\[
3=\left(-\omega^{2}\right) \pi^{2}
\]
其中 $\pi=1-\omega$ 为 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中素数 (见例 1 ), $-\omega^{2}$ 为单位 (引理 1). 这由下式立得
\[
\pi^{2}=(1-\omega)^{2}=1-2 \omega+\omega^{2}=-3 \omega
\]
\end{example}

\begin{lemma}%引理2
任一 Eisenstein 素数 $\pi$ 必是某一个有理素数 $p$ 的因子。
\end{lemma}


\begin{proof}
 由 $\pi \mid \pi \bar{\pi}=N(\pi)$ 知 $\pi$ 必整除某些有理整数。 设 $p$ 为最小有理整数使 $\pi \mid p$, 则 $p$ 必为有理素数(否则， 若 $p=a b$, 则由 $\pi \mid p=a b$ 可得 $p \mid a$ 或 $b$,由 Eisenstein 整数的唯一因子分解定理). 这导致矛盾。
\end{proof}

\begin{theorem}%定理3
Eisenstein 素数 $\pi \in \mathbb{Z}[\omega]$ 恰有以下三种及其结合元：

(1) $\pi=1-\omega$ 为有理素数 $p=3$ 的因子， 且 $3=\left(-\omega^{2}\right) \pi^{2}=N(\pi)$.

(2) $\pi=m+n \omega$ 为有理素数 $p \equiv 1(\bmod 3)$ 的因子， 且 $p=\pi \bar{\pi}=N(\pi)$.

 (3)  $\pi=p$ 为有理素数 $p \equiv 2(\bmod 3)$ ，且 $N(p)=p^{2}$.
\end{theorem}

上述三种情形分别称为 $p$ 在 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中分歧、分裂、惯性。

\begin{proof}
 由引理 2 , 设 $\pi=a+b \omega \mid p$, 可设 $\beta \in \mathbb{Z}[\omega]$ 使
\[
\pi \beta=p, \quad N(\pi) N(\beta)=p^{2}
\]
故有两种可能：
\end{proof}

(i) $\beta$ 为单位， $\pi$ 与 $p$ 结合， $p$ 为 Eisenstein 素数， $N(\beta)=1, N(\pi)=p^{2}$.

(ii) $\beta$ 不是单位， $N(\beta) \neq 1$, 则 $N(\pi)=\pi \bar{\pi}=p$.

 (1) 设 $p=3$, 由例 3 已知 $3=\left(-\omega^{2}\right)(1-\omega)^{2}$, 而 $1-\omega$ 为 Eisenstein 素数。

 (2) 设 $p \equiv 1(\bmod 3)$, 则 Legendre 符号 $(-3 / p)=1$ (可分 $p \equiv 1$ 和 -1 两情形讨论), 故有整数 $x$ 使 $p \mid x^{2}+3=(x+\sqrt{-3})(x-\sqrt{-3})$. 若 $p$ 为 Eisenstein 素数， 则 $p \mid x+\sqrt{-3}$ 或 $x-\sqrt{-3}$, 即 $x / p+(1 / p) \sqrt{-3} \in \mathbb{Z}[\omega]$ (或 $x / p-(1 / p) \sqrt{-3}$ $\in \mathbb{Z}[\omega]$ )，矛盾。 故为上述情形 (ii), $N(\pi)=\pi \bar{\pi}=p$.

(3) 设 $p \equiv-1(\bmod 3)$, 由
\[
4 N(\pi)=(2 a-b)^{2}+3 b^{2} \equiv(2 a-b)^{2} \equiv 0 \text { 或 } 1(\bmod 3) ，
\]
知 $N(\pi)=p$ 不可能， 故为上述情形 (i), $\pi$ 与 $p$ 结合。

\begin{corollary}%系1
有理素数 $p \equiv 1(\bmod 3)$ 可表示为 $p=a^{2}-a b+b^{2}(a, b \in \mathbb{Z})$.
\end{corollary}

以下稍介绍 Eisenstein 数在 Fermat 大定理 $(n=3)$ 等方面的应用。 为此， 先定义 Eisenstein 整数的同余 (像对有理整数一样). 设 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}[\omega], \gamma \neq 0$,则定义
\[
\alpha \equiv \beta \quad(\bmod \gamma)
\]
意义为 $\gamma \mid(\alpha-\beta)$, 或 $\alpha \equiv \beta+\gamma \delta(\delta \in \mathbb{Z}[\omega])$.

\begin{lemma}%引理3
若 $\pi=1-\omega, \pi \mid \alpha$, 则
\[
\begin{aligned}
& \alpha \equiv \pm 1 \quad(\bmod \pi) \\
& \alpha^{3} \equiv \pm 1 \quad\left(\bmod \pi^{4}\right)
\end{aligned}
\]
\end{lemma}

\begin{proof}
  (1) 因 $\pi \mid 3$, 故任意有理整数
\[
n=r+3 k=r-\omega^{2} \pi^{2} k \equiv r \quad(\bmod \pi), \quad r=0,1 \text { 或 }-1.
\]
而对任意 $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$, 有 $\alpha \equiv m+n \omega=m+n-n \pi \equiv m+n(\bmod \pi)$. 即得引理。

 (2) 由 (1) 知可设 $\alpha \equiv 1(\bmod \pi)$ (否则以 $-\alpha$ 代 $\alpha)$, 设 $\alpha \equiv 1+\beta \pi$. 则由
\[
1+\omega+\omega^{2}=0, \pi=1-\omega, \text { 和 } 1-\omega^{2}=\pi(1+\omega)=-\pi \omega^{2},
\]
知
\[
\begin{aligned}
\alpha^{3}-1 & =(\alpha-1)(\alpha-\omega)\left(\alpha-\omega^{2}\right)=\beta \pi(\beta \pi+1-\omega)\left(\beta \pi+1-\omega^{2}\right) \\
& =\beta \pi^{3}(\beta+1)\left(\beta-\omega^{2}\right)
\end{aligned}
\]
因 $1-\omega^{2} \equiv 0$, 故 $\omega^{2} \equiv 1(\bmod \pi)$, 故
\[
\beta(\beta+1)\left(\beta-\omega^{2}\right) \equiv \beta(\beta+1)(\beta-1) \equiv 0 \quad(\bmod \pi)
\]
最后的同余号是因为 $\beta$ 同余于 $0,1,-1$ 之一(引理 2). 即知
\[
\alpha^{3}-1 \equiv 0 \quad\left(\bmod \pi^{4}\right)
\]
\end{proof}


\begin{theorem}%定理4
( Fermat 大定理三次情形) Fermat 三次方程
\begin{equation*}
x^{3}+y^{3}=z^{3} \quad(x y z \neq 0) \tag{1}
\end{equation*}
无 Eisenstein 整数解; 特别， 无有理整数解。
\end{theorem}

\begin{proof}
 可设 $x, y, z \in \mathbb{Z}[\omega]$ 两两互素。 假若 $x, y, z$ 均不含因子 $\pi=1-\omega$,由引理 3 知
\[
0=x^{3}+y^{3}-z^{3} \equiv \pm 1 \pm 1 \pm 1= \pm 1 \text { 或 } \pm 3 \quad\left(\bmod \pi^{4}\right),
\]
即 $\pi^{4} \mid 1$ 或 3 ; 这导致 $\pi$ 为单位， 或 $\pi^{2} \mid 1$ (因 $3=\left(-\omega^{2}\right) \pi^{2}$ ), 均不可能。 故不妨设 $z=\pi^{n} \gamma, n$ 为正整数， 而 $x, y, \gamma$ 均不含因子 $\pi$. 我们要证明比 (1) 式更一般的结果：
\begin{equation*}
x^{3}+y^{3}=\varepsilon \pi^{3 n} \gamma^{3} \tag{2}
\end{equation*}
其中 $\varepsilon$ 为 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中任意单位， $x, y, \gamma$ 均不含因子 $\pi$.
\end{proof}

断言 1 : 若 $(2)$ 式成立， 则 $n \geqslant 2$. 事实上， 模 $\pi^{4}$ 得
\[
\varepsilon \pi^{3 n} \gamma^{3} \equiv \pm 1 \pm 1= \pm 2 \text { 或 } 0 \quad\left(\bmod \pi^{4}\right).
\]
前者导致 $\pi \mid 2$, 不可能。 后者说明 $\pi^{4} \mid \pi^{3 n} \gamma^{3}$, 故 $n \geqslant 2$.

断言 2 : 若 (2) 式对 $n=m \geqslant 2$ 成立， 则对 $n=m-1$ 成立。 证明： 由 (2) 式有
\[
\varepsilon \pi^{3 m} \gamma^{3}=x^{3}+y^{3}=(x+y)(x+\omega y)\left(x+\omega^{2} y\right)
\]
右边三因子之差为 $y \pi, \omega y \pi, \omega^{2} y \pi$, 均结合于 $y \pi$. 因 $3 m>3$, 故右边三因子中必有一个含因子 $\pi^{2}$ (不妨设 $\pi^{2} \mid(x-y)$. 不然可以 $\omega y$ 或 $\omega^{2} y$ 代 $y$ ), 另两因子皆必含因子 $\pi$ 而不含 $\pi^{2}$ (因与前因子的差含 $\pi$ 而不含 $\pi^{2}$ ). 于是可记
\[
x+y=\pi^{3 m-2} \delta_{1}, \quad x+\omega y=\pi \delta_{2}, \quad x+\omega^{2} y=\pi \delta_{3}
\]
其中 $\delta_{i}$ 不含因子 $\pi$. 易知 $\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}$ 两两互素， 事实上若 $\delta \mid\left(\delta_{2}, \delta_{3}\right)$, 则 $\delta$整除
\[
\delta_{2}-\delta_{3}=\omega y \text { 和 } \omega \delta_{2}-\delta_{3}=-x,
\]
故知 $\delta$ 为单位， $\left(\delta_{2}, \delta_{3}\right)=1$; 其余同理可知。 于是
\[
\varepsilon \pi^{3 m} \gamma^{3}=\pi^{3 m-2} \delta_{1} \cdot \pi \delta_{2} \cdot \pi \delta_{3}, \quad \varepsilon \gamma^{3}=\delta_{1} \delta_{2} \delta_{3}
\]
由于 $\mathbb{Z}[\omega]$ 中素因子分解唯一， 故 $\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}$ 均结合于立方， 于是可记
\[
x+y=\pi^{3 m-2} \theta^{3} \varepsilon_{1}, \quad x+\omega y=\pi \rho^{3} \varepsilon_{2}, \quad x+\omega^{2} y=\pi \tau^{3} \varepsilon_{3}
\]
其中 $\theta, \rho, \tau$ 两两互素， 不含因子 $\pi$, 而 $\varepsilon_{i}$ 为单位。 于是


\begin{align*}
0 & =\left(1+\omega+\omega^{2}\right)(x+y)=x+y+\omega x+\omega^{2} y+\omega^{2} x+\omega y \\
& =\pi^{3 m-2} \theta^{3} \varepsilon_{1}+\pi \rho^{3} \varepsilon_{2}+\pi \tau^{3} \varepsilon_{3} \\
0= & \pi^{3 m-3} \theta^{3} \varepsilon_{12}+\rho^{3}+\tau^{3} \varepsilon_{32} \tag{3}
\end{align*}


其中 $\varepsilon_{12}=\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}, \varepsilon_{32}=\varepsilon_{3} / \varepsilon_{2}$. 现因条件为 $m \geqslant 2$, 故
\[
\rho^{3}+\tau^{3} \varepsilon_{32} \equiv 0 \quad\left(\bmod \pi^{3}\right)
\]
而因 $\rho, \tau$ 不含因子 $\pi$, 故 $\rho^{3} \equiv \pm 1, \tau^{3} \equiv \pm 1\left(\bmod \pi^{4}\right)$, 故
\[
\rho^{3}+\tau^{3} \varepsilon_{32} \equiv \pm 1 \pm \varepsilon_{32} \equiv 0 \quad\left(\bmod \pi^{3}\right)
\]
但因 $\varepsilon_{32}= \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^{2}$, 而 $\pm 1 \pm \omega$ 和 $\pm 1 \pm \omega^{2}$ 结合于 1 或 $\pi$, 不被 $\pi^{3}$ 整除， 故知 $\varepsilon_{32}= \pm 1$. 于是知 (3) 式即为 (2) 式的 $n=m-1$ 的情形 (令 $\pm \tau$ 为 $\tau^{\prime}$ ). 断言 2 得证。

由断言 2 可知， 若 (2) 式对某 $n$ 值成立， 则对 $n=1$ 成立， 与断言 1 矛盾。

本节习题 1 说明， 3 不可表为两个有理数的立方之和。 但是， 却可以表为 3 个有理数立方之和：

\begin{theorem}%定理5
(三立方和) 任意正有理数 $r$ 可表示为三个非负有理数的立方之和。 也就是说，
\[
r=x^{3}+y^{3}+z^{3}
\]
必有正有理数解 $x, y, z \in \mathbb{Q}$ (对任意正有理数 $r$ ).
\end{theorem}

\begin{proof}
 易知 $r=x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(y+z)(z+x)(x+y)$. 记
\[
a=y+z, \quad b=x+z, \quad c=x+y,
\]
则此方程化为
\[
8 r=(a+b+c)^{3}-24 a b c
\]
再记 $u=(a+c) / c, v=b / c$, 则方程化为
\[
8 r c^{-3}=(u+v)^{3}-24(u-1) v
\]
现在我们限制 $c$ 和 $v$ 使得 $r=3 c^{3} v$. 则方程化为
\[
(u+v)^{3}=24 u v .
\]
尝试设 $u=v t$ (对任意 $t$ ), 代人此方程得到 (限制条件下的) 解
\[
u=24 t^{2} /(t+1)^{3}, \quad v=24 t /(t+1)^{3}
\]
上述限制条件 $r=3 c^{3} v$ 化为
\[
r=72 c^{3} t /(t+1)^{3}
\]
让 $t=r /\left(72 w^{3}\right)$ (其中 $w$ 为任意有理数), 代人上式得 $c=w(t+1)$. 这就得到方
程的解
\[
a=(u-1) c, \quad b=v c, \quad c=w(t+1)
\]
其中 $u, v$ 依赖于 $t, c=w(t+1), t$ 依赖于 $w$. 由此得到原方程的解
\[
x=(b+c-a) / 2, \quad y=(a+c-b) / 2, \quad z=(a+b-c) / 2 .
\]
只需再证可取 $w$ 的值使 $x, y, z$ 皆正。 取 $w$ 正， 则 $t, c$ 皆正。 上式说明
\[
2 x / c=2-(u-v), \quad 2 y / c=u-v, \quad 2 z / c=u+v-2
\]
故 $x, y, z$ 皆正相当于 $0<u-v<2<u+v$, 即
\[
t>1, \quad 12\left(t^{2}-t\right)<(t+1)^{3}<12\left(t^{2}+t\right)
\]
这当 $t=t_{1}$ 稍大于 1 时显然成立， 再由 $t_{1}=r /\left(72 w^{3}\right)$ 定出 $w$ 即可。
\end{proof}

我们将在本章介绍 Gauss 和 Eisenstein 整数的推广发展， 在附录 5 介绍它们在三、四次互反律的应用。

